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2.11.2013

LA LEYENDA DEL AJEDREZ Y LA SINGULARIDAD


Por Tomás Dante Guvi


Cuenta una Leyenda que, hace muchos años en la India, un hombre llamado Sessa (o Sisa) creó el Ajedrez para diversión del soberano que, al parecer, estaba un poco aburrido. Este, encantado con el nuevo divertimento, ofreció la recompensa que quisiera al inventor quien, conocedor de los secretos de las Matemáticas, pidió un modesto premio.

Sessa solicitó al Rey que se le concediera 1 grano de Trigo por el primer casillero del Tablero de Ajedrez, 2 granos por el segundo, 4 por el tercero, 8 por el cuarto y así siguiendo, duplicando en cada casillero la cantidad de granos del anterior, hasta llegar al último, el número 64.

El Rey quedó muy sorprendido y un poco ofendido por este pedido tan humilde. Después de todo, era inmensamente rico y tan sólo le estaban requiriendo un puñado de Trigo. Los matemáticos reales se pusieron a hacer cuentas para satisfacer lo demandado, pero grande fue la sorpresa cuando llegaron al número final: el Rey le debía a Sessa ni más ni menos que 18.446.744.073.709.551.615 granos de Trigo (casi 18 trillones y medio), lo cual era absolutamente imposible de pagar.

En este punto la Leyenda diverge entre las versiones en las que el Rey, ante la imposibilidad de cumplir con su ofrecimiento, mandó a matar a Sessa y las que presentan a éste como un sabio que sólo quiso divertirse y por lo tanto perdonó la deuda al soberano.

Esta historia pone de manifiesto lo que sucede con las Progresiones Geométricas. A cada casillero le corresponde una potencia de 2, desde 20 para el primero hasta 263 para el último. Se puede demostrar además, que la suma de todos los granos de Trigo será 264 – 1 (aquellos 18,5 trillones de granos que calcularon los matemáticos del Rey). Este número es sumamente complicado de imaginar. 


Más fácil es visualizar el peso y el volumen del total de trigo. Un parámetro que se utiliza para clasificar los cereales es el peso de 1000 granos. En el caso del Trigo, este valor se sitúa (según la variedad) alrededor de los 40 gramos. Por lo tanto, el total de Trigo pesará unos 750 mil millones de toneladas. Dado que la producción mundial anual es de alrededor de 650 millones de toneladas, serían necesarias más de 1000 cosechas actuales (y muchísimas más de las de la época de Sessa) para pagar la deuda. Como además 1 m3 de Trigo pesa alrededor de 800 Kg, el rey debería darle a Sessa un volumen de unos 920 Km3 de trigo. Es decir, un cubo de casi 10 Km de lado o un silo de 10 m de diámetro y unos 11,7 millones de km de altura (más de 30 veces la distancia entre la Tierra y la Luna).

Ahora bien, el Rey no podía imaginar de entrada que iba a deber semejante cantidad de Trigo. Los primeros casilleros fueron sumando cantidades insignificantes de granos: 1, 3, 7, 15… Para la casilla 16, la suma era de tan sólo 2,6 Kg; nada impresionante. Incluso al llegar a la mitad, en el casillero 32, los matemáticos calcularon unas 170 toneladas que ocuparían unos 215 m3, es decir un pequeño silo de 10 m de diámetro y algo menos de 3 m de altura. De nuevo, nada espectacular.

Esta es la paradoja de una Progresión Exponencial. Al principio no es muy prometedora, pero cuando se dispara se hace explosiva. Pensemos qué hubiera pasado si Sessa pedía granos de trigo siguiendo una Progresión Lineal. Digamos 1 billón de granos para el primer casillero, otro billón para el segundo y así siguiendo (podría ser cualquier otro valor pero éste es grande e impresiona). El Rey se hubiera preocupado de entrada por el pedido del inventor y durante muchos casilleros la cantidad sería muy superior a la de la progresión exponencial. La suma de los granos de los primeros 32 casilleros, por ejemplo, es de 32 billones para la Progresión Aritmética mientras que para la Geométrica es sólo de 4.294.967.295 (unas 8 mil veces menos). 


Recién en el casillero 46 la Progresión Exponencial pasa al frente (algo más de 70 billones contra 46 billones) y después se hace vertiginosa. Al final, los 64 billones de granos que arrojaría la lineal (2.560.000 toneladas; un 0,4 por ciento de la producción mundial) parecen una insignificancia…

Con la Tecnología pasa lo mismo; todas las predicciones suenan a Ciencia Ficción y a utopía. Pero lo que sucede es que estamos en la situación inicial del Rey para el que no era imaginable que la Progresión Exponencial se tradujera en semejante cantidad de Trigo.






En esta gráfica podemos ver dicha situación. Durante todo el Siglo XX, la Tecnología siguió un desarrollo como el de la curva verde antes del punto tn, mientras que nuestros cerebros lineales podían imaginar progresos de acuerdo a la línea roja. Es por esto que el desarrollo tecnológico era palpable pero no impresionante ya que nuestro sentido común podía aceptar mucho más. Claro que personas como Gordon Moore estaban en la posición de Sessa y sí podían ver ese Crecimiento Exponencial e imaginar cuál sería el futuro. 


Actualmente cualquier persona nota este comportamiento cuando cambia su celular cada dos años (la obsolescencia programada también es un factor importante de este proceso pero no es el tema de este Artículo), cuando se asombra de la desaparición de los rollos de fotos que usaba hasta hace pocos años o cuando toma conciencia de que Internet se hizo central en su vida en sólo una década. Es que hoy en día rondamos el momento tn en el cual la curva exponencial supera a la lineal.

En el futuro, esta Curva Exponencial se va a disparar y se apartará totalmente de lo que nuestro sentido común está dispuesto a imaginar.




Diseño & Diagramación: Pachakamakin